Probabilidad Y Estadistica

domingo, 10 de mayo de 2015

Practica 3- Gonzalez Osuna Edith Adriana

Una distribución binomial tiene las siguientes características:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y fracaso.

2. La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.

3. La probabilidad de fracaso también es constante, Se representa por q,

q = 1 − p

4. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

5. La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n.

La distribución bimomial se expresa por B(n, p)

Cálculo de probabilidades en una distribución binomial

n es el número de pruebas.

k es el número de éxitos.

p es la probabilidad de éxito.

q es la probabilidad de fracaso.

Parámetros de la distribución binomial

Media

Varianza

Desviacion estandar

EJEMPLO 1

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

Soluciones:

1.- ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?

B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2

2.- ¿Y cómo máximo 2?

EJEMPLO 2

Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

Soluciones:

1.- Al menos tres personas

2.- Exactamente dos personas

EJERCICIO PROBLEMA

EJERCICIO DEL LIBRO / Problema 13 / Capitulo 6 / ESTADISTICAS APLICADAS A LA ECONOMIA Y A LOS NEGOCIOS.

Un estudio de la American Society of Investors descubrió que 30% de inversionistas particulares

había utilizado un agente de descuentos. En una muestra aleatoria de nueve personas, ¿cuál es la

probabilidad de que:

a) exactamente dos personas hayan utilizado un agente de descuentos?

b) exactamente cuatro personas hayan recurrido a él?

c) ninguna persona lo haya empleado?

Problema en general

Practica 3 - Preciado Contreras Luis Adolfo

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON.

La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen. Esta distribución posee diversas aplicaciones.

La distribución se basa en dos supuestos casos. El primero de los casos consiste en que la probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo. El segundo caso supuesto consiste en que los intervalos son independientes. Se podria decir que, entre más grande sea el intervalo, mayor será la probabilidad; además, el número de veces que se presenta un evento en un intervalo no influye en los demás intervalos. La distribución también constituye una forma restrictiva de la distribución binomial cuando la probabilidad de un éxito es muy pequeña y n es grande. A ésta se le conoce por lo general con el nombre de ley de eventos improbables, lo cual significa que la probabilidad, de que ocurra un evento en particular es muy pequeña. La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta porque se genera contando. En resumen, una distribución de probabilidad de Poisson posee tres características:

1. La variable aleatoria es el número de veces que ocurre un evento durante un intervalo definido.

2. La probabilidad de que ocurra el evento es proporcional al tamaño del intervalo.

3. Los intervalos no se superponen y son independientes.

La distribución de Poisson se describe matemáticamente por medio de la siguiente fórmula:

En la que:

(mu) es la media de la cantidad de veces (éxitos) que se presenta un evento en un

intervalo particular.

e es la constante 2.71828 (base del sistema de logaritmos neperianos).
x es el número de veces que se presenta un evento.
P(x) es la probabilidad de un valor específico de x.

la media de numero de exitos puede calcularse con n*pi, donde pi es la probabilidad de exito.

Ejemplo 1.

pocas veces se pierde equipaje en Delta Airlines. En la mayoría de los vuelos no se pierden maletas; en algunos se pierde una; en unos cuantos se pierden dos; pocas veces se pierden tres, etc. Suponga que una muestra aleatoria de 1 000 vuelos arroja un total de 300 maletas perdidas. De esta manera, la media aritmética del número de maletas perdidas por vuelo es de 0.3, que se calcula al dividir 300/1 000. Si el número de maletas perdidas por vuelo se rige por una distribución de Poisson con

= 0.3, las diversas probabilidades se calculan con la fórmula.

la probabilidad de que no se pierda ninguna maleta es la siguiente:

P(0) =(((0.3)^0)*(e- 0.3))/0! = 0.7408

Esto quiere decir que, en el 74% de los vuelos no habrá maletas perdidas. La probabilidad de que se pierda exactamente una maleta es:

P(1) =(((0.3)^1)*(e -0.3))/1! = 0.2222

se espera que se pierda exactamente una maleta en 22% de los vuelos.

Ejemplo 2.

Coastal Insurance Company asegura propiedades frente a la playa a lo largo de Virginia,

Carolina del Norte y del Sur, y las costas de Georgia; el cálculo aproximado es que, cualquier

año, la probabilidad de que un huracán de categoría III (vientos sostenidos de más de 110

millas por hora) o más intenso azote una región de la costa (la isla de St. Simons, Georgia, por ejemplo) es de 0.05. Si un dueño de casa obtiene un crédito hipotecario de 30 años por una propiedad recién comprada en St. Simons, ¿cuáles son las posibilidades de que experimente por lo menos un huracán durante el periodo del crédito?

Para aplicar la distribución de probabilidad de Poisson, se comienza por determinar la media

o número esperado de tormentas que se ajustan al criterio y que azotan St. Simons durante el

periodo de 30 años. Es decir,

= n*pi = 30(.05)= 1.5

Donde:

n es el número de años, 30 en este caso.

pi es la probabilidad de que toque tierra un huracán que se ajuste al criterio.

es la media o número esperado de tormentas en un periodo de 30 años.

Para determinar la probabilidad de que por lo menos una tormenta azote la isla de St. Simons,

Georgia, primero calcule la probabilidad de que ninguna tormenta azote la costa y reste dicho

valor de 1.

Así, se concluye que las posibilidades de que un huracán de ese tipo azote la propiedad frente

a la playa en St. Simons, durante el periodo de 30 años, mientras el crédito se encuentra

vigente, son de 0.7769. En otras palabras, la probabilidad de que St. Simons sufra el azote de

un huracán categoría III o más alta durante el periodo de 30 años es de un poco más de 75 por

ciento.

Problema 31, capitulo 6, ESTADISTICAS APLICADAS A LA ECONOMIA Y A LOS NEGOCIOS.

En una distribución de Poisson,

= 0.4.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que x 0?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que x > 0?

a) se procede a utilizar el software EXCELL, se coloca el valor de x en la casilla B4, y el valor de la media en la casilla B5, para el calculo de la probabilidad se utiliza la formula antes vista, lo que da una probabilidad de 0.67032, como se muestra en la imagen.

b) como lo que se busca es la probabilidad en cualquier numero excepto 0, se toma el mismo procedimiento que se hizo en el ejemplo 2, tomamos el numero entero 1 y le restamos la probabilidad de x=0, donde el resultado es igual a 0.32968.

viernes, 8 de mayo de 2015

Practica 3 - Gomez Veronica

D i s t r i b u c i ó n

de probabilidad Normal

A diferencia de la distribución uniforme, la distribución de probabilidad normal tiene una fórmula compleja.

Los símbolos μ y σ son la media y la desviación estándar. La letra griega es
una constante matemática natural, cuyo valor es aproximadamente 22/7 o 3.1416. La letra e también es una constante matemática. Es la base del sistema de logaritmos naturales y es igual a 2.718; y X es el valor de una variable aleatoria continua. Así, una distribución normal se basa —se define— en su media y su desviación estándar.

La distribución de probabilidad normal posee las siguientes características principales.
• Tiene forma de campana y posee una sola cima en el centro de la distribución. La media aritmética, la mediana y la moda son iguales, y se localizan en el centro de la distribución. El área total bajo la curva es de 1.00. La mitad del área bajo la curva normal se localiza a la derecha de este punto central, y la otra mitad, a la izquierda.
• Es simétrica respecto de la media. Si hace un corte vertical, por el valor central, a la curva normal, las dos mitades son imágenes especulares.
• Desciende suavemente en ambas direcciones del valor central. Es decir, la distribución es asintótica. La curva se aproxima más y más al eje X, sin tocarlo. En otras palabras, las colas de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones.
• La localización de una distribución normal se determina a través de la media, μ. La dispersión o propagación de la distribución se determina por medio de la desviación estándar, σ.

Características de la distribución normal.

D i s t r i b u c i ó n

normal estándar

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ = 0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

Su función de densidad es:

Su gráfica es:

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Tipificacion de la variable: Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ,σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0,1).

Ejemplo 1.

Los ingresos semanales de los supervisores de turno de la industria del vidrio se rigen por una distribución de probabilidad normal con una media de $1000 y una desviación estándar de $100. ¿Cuál es el valor z del ingreso X de un supervisor que percibe $1100 semanales? ¿Y de un supervisor que gana $900 semanales?

El valor z de 1.00 indica que un ingreso semanal de $1100 está a una desviación estándar por encima de la media, y un valor z de –1.00 muestra que un ingreso de $900 está a una desviación estándar por debajo de la media. Observe que ambos ingresos ($1100 y $900) se encuentran a la misma distancia ($100) de la media.

Ejemplo 2.

Calcular la probabilidad de que una caja seleccionada al azar del cereal Sugar Yummies pese entre 283 y 285.4 gramos. El peso de la caja de Sugar Yummies tiene una distribución normal con una media de 283 gramos y una desviación estándar de 1.6 gramos.

P(283 < peso < 285.4)

Para determinar la probabilidad, es necesario convertir tanto los 283 gramos como los 285.4 gramos en valores z con la fórmula antes vista. El valor z correspondiente a 283 es 0, que se calcula mediante la operación:

(283 – 283)/1.6

El valor z correspondiente a 285.4 es 1.50, que se calcula mediante
la operación:

(285.4 – 283)/1.6

Después, si se consulta la tabla para encontrar el valor de Z, observamos que este es 0.4332. Esto significa que el área bajo la curva entre 0.00 y 1.50 es de
0.4332. Tal es la probabilidad de que una caja seleccionada al azar de Sugar Yummies pese entre 283 y 285.4 gramos.

Problema 15, capitulo 7, ESTADÍSTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS Y A LA ECONOMÍA.

Un estudio reciente con respecto a salarios por hora de integrantes de equipos de mantenimiento de las aerolíneas más importantes demostró que el salario medio por hora era de $20.50, con una desviación estándar de $3.50. Suponga que la distribución de los salarios por hora es una distribución de probabilidad normal. Si elige un integrante de un equipo al azar, ¿cuál es la probabilidad
de que gane:

a) ¿entre $20.50 y $24.00 la hora?
b) ¿más de $24.00 la hora?
c)¿ menos de $19.00 la hora?