Practica 3 - Preciado Contreras Luis Adolfo

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON.

La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen. Esta distribución posee diversas aplicaciones.

La distribución se basa en dos supuestos casos. El primero de los casos consiste en que la probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo. El segundo caso supuesto consiste en que los intervalos son independientes. Se podria decir que, entre más grande sea el intervalo, mayor será la probabilidad; además, el número de veces que se presenta un evento en un intervalo no influye en los demás intervalos. La distribución también constituye una forma restrictiva de la distribución binomial cuando la probabilidad de un éxito es muy pequeña y n es grande. A ésta se le conoce por lo general con el nombre de ley de eventos improbables, lo cual significa que la probabilidad, de que ocurra un evento en particular es muy pequeña. La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta porque se genera contando. En resumen, una distribución de probabilidad de Poisson posee tres características:

1. La variable aleatoria es el número de veces que ocurre un evento durante un intervalo definido.

2. La probabilidad de que ocurra el evento es proporcional al tamaño del intervalo.

3. Los intervalos no se superponen y son independientes.

La distribución de Poisson se describe matemáticamente por medio de la siguiente fórmula:

En la que:

• 

(mu) es la media de la cantidad de veces (éxitos) que se presenta un evento en un

intervalo particular.

• e es la constante 2.71828 (base del sistema de logaritmos neperianos).
• x es el número de veces que se presenta un evento.
• P(x) es la probabilidad de un valor específico de x.

la media de numero de exitos puede calcularse con n*pi, donde pi es la probabilidad de exito.

Ejemplo 1.

pocas veces se pierde equipaje en Delta Airlines. En la mayoría de los vuelos no se pierden maletas; en algunos se pierde una; en unos cuantos se pierden dos; pocas veces se pierden tres, etc. Suponga que una muestra aleatoria de 1 000 vuelos arroja un total de 300 maletas perdidas. De esta manera, la media aritmética del número de maletas perdidas por vuelo es de 0.3, que se calcula al dividir 300/1 000. Si el número de maletas perdidas por vuelo se rige por una distribución de Poisson con = 0.3, las diversas probabilidades se calculan con la fórmula.

la probabilidad de que no se pierda ninguna maleta es la siguiente:

P(0) =(((0.3)^0)*(e- 0.3))/0! = 0.7408

Esto quiere decir que, en el  74% de los vuelos no habrá maletas perdidas. La probabilidad de que se pierda exactamente una maleta es:

P(1) =(((0.3)^1)*(e -0.3))/1! = 0.2222

se espera que se pierda exactamente una maleta en 22% de los vuelos.

Ejemplo 2.

Coastal Insurance Company asegura propiedades frente a la playa a lo largo de Virginia,

Carolina del Norte y del Sur, y las costas de Georgia; el cálculo aproximado es que, cualquier

año, la probabilidad de que un huracán de categoría III (vientos sostenidos de más de 110

millas por hora) o más intenso azote una región de la costa (la isla de St. Simons, Georgia, por ejemplo) es de 0.05. Si un dueño de casa obtiene un crédito hipotecario de 30 años por una propiedad recién comprada en St. Simons, ¿cuáles son las posibilidades de que experimente por lo menos un huracán durante el periodo del crédito?

Para aplicar la distribución de probabilidad de Poisson, se comienza por determinar la media

o número esperado de tormentas que se ajustan al criterio y que azotan St. Simons durante el

periodo de 30 años. Es decir,

= n*pi = 30(.05)= 1.5

Donde:

n es el número de años, 30 en este caso.

pi es la probabilidad de que toque tierra un huracán que se ajuste al criterio.

es la media o número esperado de tormentas en un periodo de 30 años.

Para determinar la probabilidad de que por lo menos una tormenta azote la isla de St. Simons,

Georgia, primero calcule la probabilidad de que ninguna tormenta azote la costa y reste dicho

valor de 1.

Así, se concluye que las posibilidades de que un huracán de ese tipo azote la propiedad frente

a la playa en St. Simons, durante el periodo de 30 años, mientras el crédito se encuentra

vigente, son de 0.7769. En otras palabras, la probabilidad de que St. Simons sufra el azote de

un huracán categoría III o más alta durante el periodo de 30 años es de un poco más de 75 por

ciento.

Problema 31, capitulo 6, ESTADISTICAS APLICADAS A LA ECONOMIA Y A LOS NEGOCIOS.

En una distribución de Poisson,=  0.4.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que x 0?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que x > 0?

a) se procede a utilizar el software EXCELL, se coloca el valor de x en la casilla B4, y el valor de la media en la casilla B5, para el calculo de la probabilidad se utiliza la formula antes vista, lo que da una probabilidad de 0.67032, como se muestra en la imagen.

b) como lo que se busca es la probabilidad en cualquier numero excepto 0, se toma el mismo procedimiento que se hizo en el ejemplo 2, tomamos el numero entero 1 y le restamos la probabilidad de x=0, donde el resultado es igual a 0.32968.