Practica 4 - Pulido Luna Jesus Rogelio

EJEMPLO No.1

Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviacion estandar poblacional de 8.9 años. Queremos probar si la vida media de hoy en dia es mayor a 70 años con base en esa muestra. La muestra pareceria indicar que si es asi pero ¿Cual es la probabilidad de que la media de la muestra no refleje la verdadera media de la poblacion? Utilizar un nivel de significancia de 0.05

SOLUCION:

1. Datos:
 
μ = 70 años
σ = 8.9 años 
X = 71.8 años
n = 100
α = 0.05

2. Establecemos la hipotesis:

H0 :  μ <= 70 años
H1:  μ > 70 años

3. Nivel de significancia:

α = 0.05; Z=1.645

4. Regla de decision:

Si Z <= 1.645 No se rechaza H0.

Si Z > 1.645 Se rechaza H0.

5. Calculos: 

Z = (x ̅-μ)/(σ/√n) = (71.8-70)/(8.9/(100)^1/2) = 2.02

6. Desicion y justificacion: 

Como Z > 1.645 se rechaza H0 y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la vida media de hoy en dia es mayor a 70 años.

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PROBLEMA 2
PAGINA 347

Se selecciona una muestra de 36 observaciones de una poblacion normal. La media muestral es de 12, y el tamaño de la muestra , 36. La desviacion estandar de la poblacion es 3. Utilice el nivel de significancia 0.02.
a) ¿Es una prueba de 1 o 2 colas?; b) ¿Cual es la regla de descicion?; c) ¿Cual es el valor estadistico de la prueba?; d) ¿Cual es la descicion respecto a H0?

H0 : μ <= 10
H1 : μ > 10

SOLUCION:

1. Datos:
μ = 10
σ = 3  
X = 12 
n = 36
α = 0.02

2. Establecemos la Hipotesis:

H0 : μ <= 10
H1 : μ > 10

3. Nivel de significancia:

α = 0.02; Z = 2.88

4. Regla de decision:

Si Z <= 2.88 No se rechaza H0.
Si Z > 2.88 Se rechaza H0.

5. Calculos:

Z = (x ̅-μ)/(σ/√n) = (12-10)/(3/(36)^1/2) = 4

6. Desicion y justificacion:

Como Z > 2.88 se concluye con un nivel de significancia de 0.02 que se rechaza H0.

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EJEMPLO No. 2

La longitud media de una pequeña barra de contrapeso es de 43 milímetros. Al supervisor de producción le preocupa que hayan cambiado los ajustes de la máquina de producción de barras. Solicita una investigación al departamento de ingeniería, que selecciona una muestra aleatoria de 12 barras y las mide. Los resultados aparecen en seguida, expresados en milímetros.

42 39 42 45 43 40 39 41 40 42 43 42

¿Es razonable concluir que cambió la longitud media de las barras? Utilice el nivel de significancia 0.02.

SOLUCION:

Establecemos la hipotesis:

H0: μ = 43
H1: μ ~= 43

La hipótesis alternativa no señala una dirección, así que se trata de una prueba de dos colas. Hay 11 grados de libertad, que se calculan por medio de n - 1 = 12 - 1 = 11. El valor t es de 2.718, que se determina con el apéndice B.2 en el caso de una prueba de dos colas con un nivel de significancia de 0.02 y 11 grados de libertad. La regla de decisión es: se rechaza la hipótesis nula si el valor calculado de t se localiza a la izquierda de 2.718 o a la derecha de 2.718. Esta información se resume en la gráfica siguiente:

Se calcula la desviación estándar de la muestra con la fórmula (3-11). La media, X, es de 41.5 milímetros, y la desviación estándar, s, 1.784 milímetros. Los detalles aparecen en la tabla siguiente:


Ahora puede calcular el valor de t con la fórmula:

t = (x ̅-μ)/(S/√n) = (41.5 - 43)/(1.784/(12)^1/2) = -2.913

La hipótesis nula que afirma que la media poblacional es de 43 milímetros se rechaza porque el valor calculado de t de - 2.913 se encuentra en el área a la izquierda de - 2.718. Se acepta la hipótesis alternativa y se concluye que la media poblacional no es de 43 milímetros. La máquina está fuera de control y necesita algunos ajustes.

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PROBLEMA 09
PAGINA: 352

Sean las siguientes hipótesis:

H0: μ <= 10
H1: μ > 10

En el caso de una muestra aleatoria de 10 observaciones seleccionada de una población normal, la media muestral fue de 12, y la desviación estándar de la muestra, de 3. Utilice el nivel de significancia 0.05:

a) Formule la regla de decisión.

Si t < 3.25 No se rechaza H0.
Si t > 3.25 Se rechaza H0.

b) Calcule el valor del estadístico de prueba.

t = (x ̅-μ)/(S/√n) = (12 - 10)/(3/√10) = 2.108

c) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula?

No se puede concluir nada con respecto a la hipotesis nula.

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PROBLEMA 18
PAGINA 356

El cloro líquido que se agrega a las albercas para combatir las algas tiene una duración relativamente corta en las tiendas antes de que pierda su eficacia. Los registros indican que la duración media de un frasco de cloro es de 2 160 horas (90 días). Como experimento, se agregó Holdlonger al cloro para saber si éste incrementaba la duración del cloro. Una muestra de nueve frascos de cloro arrojó los siguientes tiempos de duración (en horas) en las tiendas:

2159 2170 2180 2179 2160 2167 2171 2181 2185

¿Con el nivel de significancia de 0.025, ¿incrementó el Holdlonger la duración del cloro en las tiendas?

SOLUCION:

Se formula la hipotesis nula y alternativa:

H0: μ <= 2.306
H1: μ > 2.306

Regla de desicion:

Si t < 2.306 No se rechaza H0.
Si t > 2.306 Se rechaza H0.

Valor estadistico de prueba:

Para esto primero se cacula la media:

X1= (2159+2170+2180+2179+2160+2167+2171+2181+2185)/(9) = 2172.4444

Despues la desviacion estandar:

X2        X2-X1        (X2-X1)^2
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2159      -13.4444      180.7518
2170       -2.4444        5.9750
2180        7.5556       57.0870
2179        6.5556       42.9758
2160      -12.4444      154.8630
2167       -5.4444       29.6414
2171       -1.4444        2.0862
2181        8.5556       73.1982
2185       12.5556      157.6430

S^2 = (180.7518+5.9750+57.0870+42.9758+154.8630+29.6414+2.0862+73.1982+157.6430)/(8) = 88.0276

S = 9.3823

Y se sustituyen los valores en la formula:

t = (x ̅-μ)/(S/√n) = (2172.4444-2160)/(9.3823/√9) = 3.9791

Como t > 2.306 Se rechaza la hipotesis nula y con un nivel de significancia de 0.025 Holdlonger si incremento la duracion del cloro en las tiendas.